矩阵

创建于 2024-12-02 / 16
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这个矩阵有 2 行和 3 列:

C =  
2 5 3
4 7 1

矩阵的维数为(2x3)。

方阵

方阵是行数和列数相同的矩阵。

n×n 矩阵称为 n 阶方阵。

一个2×2矩阵（2阶方阵）:

C =  
1 2
3 4

一个4×4矩阵（4阶方阵）:

C =  
1 -2 3 4
5 6 -7 8
4 3 2 -1
8 7 6 -5

对角矩阵

Diagonal Matrix 在对角线条目上具有值，在其余部分为 零:

C =   
2 0 0
0 5 0
0 0 3
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标量矩阵

A Scalar Matrix 具有相等的对角线元素，其余元素为 零:

C =   
3 0 0 0
0 3 0 0
0 0 3 0
0 0 0 3

身份矩阵

身份矩阵在对角线上有 1，在其余部分有 0。

这是1的矩阵等价物。符号是I。

I =   
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

如果将任何矩阵与单位矩阵相乘，则结果等于原始矩阵。

零矩阵

零矩阵（空矩阵）只有零。

C =   
0 0 0
0 0 0

等矩阵

如果每个元素都对应，则矩阵相等:

2 5 3
4 7 1
  =  
2 5 3
4 7 1

负矩阵

矩阵的负很容易理解:

  -  
-2 5 3
-4 7 1
  =  
2 -5 -3
4 -7 -1

JavaScript 中的线性代数

在线性代数中，最简单的数学对象是标量:

const scalar = 1;

另一个简单的数学对象是数组:

const array = [ 1, 2, 3 ];

矩阵是二维数组:

const matrix = [ [1,2],[3,4],[5,6] ];

向量可以写成只有一列的矩阵:

const vector = [ [1],[2],[3] ];

向量也可以写成数组:

const vector = [ 1, 2, 3 ];

JavaScript 矩阵运算

在 JavaScript 中编程矩阵运算，很容易成为循环的意大利面条。

使用 JavScript 库可以省去很多麻烦。

用于矩阵运算的最常用库之一称为 math.js。

只需一行代码即可添加到您的网页中:

使用 math.js

<script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjs/9.3.2/math.js"></script>

添加矩阵

如果两个矩阵具有相同的维度，我们可以将它们相加:

2 5 3
4 7 1
 + 
4 7 1
2 5 3
 = 
6 12 4
6 12 4

实例

const mA = math.matrix([[1, 2], [3, 4], [5, 6]]);
const mB = math.matrix([[1,-1], [2,-2], [3,-3]]);

// Matrix Addition
const matrixAdd = math.add(mA, mB);

// Result [ [2, 1], [5, 2], [8, 3] ]

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减法矩阵

如果两个矩阵的维数相同，我们可以将它们相减:

2 5 3
4 7 1
 - 
4 7 1
2 5 3
 = 
-2 -2 2
2 2 -2

实例

const mA = math.matrix([[1, 2], [3, 4], [5, 6]]);
const mB = math.matrix([[1,-1], [2,-2], [3,-3]]);

// Matrix Subtraction
const matrixSub = math.subtract(mA, mB);

// Result [ [0, 3], [1, 6], [2, 9] ]

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要添加或减去矩阵，它们必须具有相同的维度。

标量乘法

虽然行和列中的数字称为矩阵，但单个数字称为标量。

矩阵与标量相乘很容易。 只需将矩阵中的每个数字与标量相乘即可:

2 5 3
4 7 1
   x 2 =   
4 10 6
8 14 2

实例

const mA = math.matrix([[1, 2], [3, 4], [5, 6]]);

// 矩阵乘法
const matrixMult = math.multiply(2, mA);

// Result [ [2, 4], [6, 8], [10, 12] ]

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实例

const mA = math.matrix([[0, 2], [4, 6], [8, 10]]);

// 矩阵除法
const matrixDiv = math.divide(mA, 2);

// Result [ [0, 1], [2, 3], [4, 5] ]

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转置矩阵

转置矩阵，意思是用列替换行。

当你交换行和列时，你会围绕它的对角线旋转矩阵。

A =   
1 2
3 4
    AT =  
1 3
2 4

乘法矩阵

矩阵相乘比较困难。

如果矩阵 A 的行数与矩阵 B 的列数相同，我们只能将两个矩阵相乘。

然后，我们需要编译一个"点积":

我们需要将A的每一行中的数字乘以B的每一列中的数字，然后相加:

实例

const mA = math.matrix([[1, 2, 3]]);
const mB = math.matrix([[1, 2, 3], [1, 2, 3], [1, 2, 3]]);

// 矩阵乘法
const matrixMult = math.multiply(mA, mB);

// Result [ [6, 12, 18] ]

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Explained:

A B C C
1
2
3
 x 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
 = 
1x1 + 2x1 + 3x1
1x2 + 2x2 + 3x2
1x3 + 2x3 + 3x3
 = 
6
12
18

如果您知道如何将矩阵相乘，则可以求解许多复杂的方程。

示例

你卖玫瑰。

  • 红玫瑰每支 3 美元
  • 白玫瑰每朵 4 美元
  • 黄玫瑰每朵 2 美元
  • 星期一你卖出了 260 朵玫瑰
  • 星期二你卖出了 200 朵玫瑰
  • 星期三你卖出了 120 朵玫瑰

所有销售的价值是多少?

红玫瑰$3 白色$4 黄色$2
Mon1208060
Tue907040
Wed604020
A B C C
$3
$4
$2
 x 
120 80 60
90 70 40
60 40 20
 = 
$800
$630
$380
 = 
$1810

实例

const mA = math.matrix([[3, 4, 2]]);
const mB = math.matrix([[120, 90, 60], [80, 70, 40], [60, 40, 20]);

// 矩阵乘法
const matrixMult = math.multiply(mA, mB);

// Result [ [800, 630, 380] ]

亲自试一试 »

解释:

A B C C
$3
$4
$2
 x 
120 80 60
90 70 40
60 40 20
 = 
$3x120 + $4x80 + $2x60
$3x90 + $4x70 + $2x40
$3x60 + $4x40 + $2x20
 = 
$800
$630
$380

矩阵分解

使用 AI，您需要知道如何分解矩阵。

矩阵分解是线性代数中的关键工具，尤其是在线性最小二乘法中。



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