DFT - 已解决的示例

示例 1

验证序列 $x(n) = ffrac{1^n}{4}u(n)$ 的 Parseval 定理

解决方案 − $displaystylesumlimits_{-infty}^infty|x_1(n)|^2 = ffrac{1}{2pi}int_{-pi}^{pi}|X_1(e^{jomega})|^2domega$

左上角 $displaystylesumlimits_{-infty}^infty|x_1(n)|^2$

$= displaystylesumlimits_{-infty}^{infty}x(n)x^*(n)$

$= displaystylesumlimits_{-infty}^infty(ffrac{1}{4})^{2n}u(n) = ffrac{1}{1-ffrac{1}{16}} = ffrac{16}{15}$

R.H.S. $X(e^{jomega}) = ffrac{1}{1-ffrac{1}{4}e-jomega} = ffrac{1}{1-0.25cos omega+j0.25sin omega}$

$Longleftrightarrow X^*(e^{jomega}) = ffrac{1}{1-0.25cos omega-j0.25sin omega}$

计算，$X(e^{jomega}).X^*(e^{jomega})$

$= ffrac{1}{(1-0.25cos omega)^2+(0.25sin omega)^2} = ffrac{1}{1.0625-0.5cos omega}$

$ffrac{1}{2pi}int_{-pi}^{pi}ffrac{1}{1.0625-0.5cos omega}domega$

$ffrac{1}{2pi}int_{-pi}^{pi}ffrac{1}{1.0625-0.5cos omega}domega = 16/15$

我们可以看出，LHS = RHS。（因此证明）

示例 2

计算 N 点 DFT $x(n) = 3delta (n)$

解决方案 −我们知道，

$X(K) = displaystylesumlimits_{n = 0}^{N-1}x(n)e^{ffrac{j2Pi kn}{N}}$

$= displaystylesumlimits_{n = 0}^{N-1}3delta(n)e^{ffrac{j2Pi kn}{N}}$

$ = 3delta (0) imes e^0 = 1$

所以，$x(k) = 3,0leq kleq N-1$… 答案。

示例3

计算 $x(n) = 7(n-n_0)$ 的 N 点 DFT

解决方案 −我们知道，

$X(K) = displaystylesumlimits_{n = 0}^{N-1}x(n)e^{ffrac{j2Pi kn}{N}}$

代入 x(n) 的值，

$displaystylesumlimits_{n = 0}^{N-1}7delta (n-n_0)e^{-ffrac{j2Pi kn}{N}}$

$= e^{-kj14Pi kn_0/N}$… 答案