SNR 计算

创建于 2024-12-02 / 18
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在本章中，我们将计算接收器解调的各种调制波的信噪比和品质因数。

信噪比

信噪比 (SNR) 是信号功率与噪声功率之比。 SNR 值越高，接收输出的质量就越好。

可以使用以下公式计算不同点的信噪比。

输入 SNR = $left ( SNR ight )_I= ffrac{调制信号的平均功率}{输入噪声的平均功率}$

输出 SNR = $left ( SNR ight )_O= ffrac{解调信号的平均功率}{输入噪声的平均功率}$ ::输出}$

信道 SNR = $left ( SNR ight )_C= ffrac{调制信号的平均:: 功率::}{消息带宽中噪声的平均:: 功率::}$

品质因数

输出 SNR 与输入 SNR 之比可称为品质因数。用 F 表示。它描述了设备的性能。

$$F=ffrac {left ( SNR ight )_O}{left ( SNR ight )_I}$$

接收器的品质因数是

$$F=ffrac {left ( SNR ight )_O}{left ( SNR ight )_C}$$

这是因为对于接收器来说，通道就是输入。

AM 系统中的 SNR 计算

考虑以下 AM 系统的接收器模型来分析噪声。

SNR 计算

我们知道调幅 (AM) 波是

$$sleft ( t ight )=A_cleft [ 1+k_amleft ( t ight ) ight ] cosleft ( 2 pi f_ct ight )$$

$$Rightarrow sleft ( t ight )=A_c cos left ( 2 pi f_ct ight )+A_ck_amleft ( t ight ) cosleft ( 2 pi f_ct ight )$$

AM波的平均功率为

$$P_s=left ( ffrac{A_c}{sqrt{2}} ight )^2+left ( ffrac{A_ck_amleft ( t ight )}{sqrt{2}} ight )^2=ffrac{{A_{c}}^{2}}{2}+ffrac{{A_{c}}^{2}{k_{a}}^{2}P}{2}$$

$$Rightarrow P_s=ffrac{{A_{c}}^{2}left ( 1+{k_{a}}^{2}P ight )}{2}$$

消息带宽中噪声的平均功率为

$$P_{nc}=WN_0$$

将这些值代入信道 SNR公式

$$left ( SNR ight )_{C,AM}=ffrac{Average :: Power :: of :: AM :: Wave}{Average :: Power :: of :: noise :: in :: 消息 :: 带宽}$$

$$Rightarrow left ( SNR ight )_{C,AM}=ffrac{{A_{c}}^{2}left ( 1+ {k_{a}}^{2} ight )P}{2WN_0}$$

其中，

  • P 是消息信号的功率=$ffrac{{A_{m}}^{2}}{2}$

  • W 是消息带宽

假设带通噪声与 AM 波在信道中混合，如上图所示。此组合应用于 AM 解调器的输入。因此，AM解调器的输入为。

$$vleft ( t ight )=sleft ( t ight )+nleft ( t ight )$$

$Rightarrow vleft ( t ight )=A_cleft [ 1+k_amleft ( t ight ) ight ] cosleft ( 2 pi f_ct ight )+$

$left [ n_1left ( t ight ) cosleft ( 2 pi f_ct ight ) - n_Qleft ( t ight ) sin left ( 2 pi f_ct ight ) ight ]$

$Rightarrow vleft ( t ight )=left [ A_c+A_ck_amleft ( t ight )+n_1left ( t ight ) ight ] cosleft ( 2 pi f_ct ight )-n_Qleft ( t ight ) sinleft ( 2 pi f_ct ight )$

其中$n_I left ( t ight )$和$n_Q left ( t ight )$分别为噪声的同相和正交相位分量。

AM解调器的输出就是上述信号的包络。

$$dleft ( t ight )=sqrt{left [ A_c+A_cK_amleft ( t ight )+n_Ileft ( t ight ) ight ]^2+left ( n_Qleft ( t ight ) ight )^2}$$

$$Rightarrow dleft ( t ight )approx A_c+A_ck_amleft ( t ight )+n_1left ( t ight )$$

解调信号的平均功率为

$$P_m=left ( ffrac{A_ck_amleft ( t ight )}{sqrt{2}} ight )^2=ffrac{{A_{c}}^{2}{k_{a}}^{2}P}{2}$$

输出端噪声的平均功率为

$$P_no=WN_0$$

将这些值代入输出 SNR公式。

$$left ( SNR ight )_{O,AM}= ffrac {:: 解调信号:: 的平均功率:: }{:: 噪声:: 在:: 输出的平均功率:: }$$

$$Rightarrow left ( SNR ight )_{O,AM}=ffrac{{A_{c}}^{2}{k_{a}}^{2}P}{2WN_0}$$

代入AM接收器公式品质因数中的值。

$$F=ffrac{left ( SNR ight )_{O,AM}}{left ( SNR ight )_{C,AM}}$$

$$Rightarrow F=left ( ffrac{{A_{c}^{2}}{k_{a}^{2}}P}{2WN_0} ight )/left ( ffrac{{A_{c}}^{2}left ( 1+ {k_{a}}^{2} ight )P}{2WN_0} ight )$$

$$Rightarrow F=ffrac{{K_{a}}^{2}P}{1+{K_{a}}^{2}P}$$

因此，AM 接收器的品质因数小于 1。

DSBSC 系统中的 SNR 计算

考虑以下 DSBSC 系统的接收器模型来分析噪声。

接收器模型DSBSC 系统

我们知道 DSBSC 调制波为

$$sleft ( t ight )=A_cmleft ( t ight ) cosleft ( 2 pi f_ct ight )$$

DSBSC 调制波的平均功率为

$$P_s=left ( ffrac{A_cmleft ( t ight )}{sqrt{2}} ight )^2=ffrac{{A_{c}}^{2}P}{2}$$

消息带宽内噪声的平均功率为

$$P_{nc}=WN_0$$

将这些值代入信道 SNR公式中。

$$left ( SNR ight )_{C,DSBSC}=ffrac{Average :: Power :: of :: DSBSC :: modulated :: wave}{Average :: Power :: of :: noise :: in :: message :: bandwidth}$$

$$Rightarrow left ( SNR ight )_{C,DSBSC}=ffrac{{A_{c}}^{2}P}{2WN_0}$$

假设带通噪声与信道中的 DSBSC 调制波混合，如上图所示。此组合作为乘积调制器的输入之一。因此，该乘积调制器的输入为

$$v_1left ( t ight )=sleft ( t ight )+nleft ( t ight )$$

$$Rightarrow v_1left ( t ight )=A_cmleft ( t ight ) cos left ( 2 pi f_ct ight )+left [ n_Ileft ( t ight ) cosleft ( 2 pi f_ct ight ) - n_Qleft ( t ight ) sin left ( 2 pi f_ct ight ) ight ]$$

$$Rightarrow v_1left ( t ight )=left [ A_cm left ( t ight ) +n_Ileft ( t ight ) ight ] cosleft ( 2 pi f_ct ight )-n_Qleft ( t ight ) sinleft ( 2 pi f_ct ight )$$

本地振荡器生成载波信号 $cleft ( t ight )= cosleft ( 2 pi f_ct ight )$。此信号作为乘积调制器的另一个输入。因此，乘积调制器产生一个输出，它是 $v_1left ( t ight )$ 和 $cleft ( t ight )$ 的乘积。

$$v_2left ( t ight )= v_1left ( t ight )cleft ( t ight )$$

代入上述等式中的 $v_1left ( t ight )$ 和 $cleft ( t ight )$ 值。

$$Rightarrow v_2left ( t ight )=left ( left [ A_cmleft ( t ight ) + n_Ileft ( t ight ) ight ] cosleft ( 2 pi f_ct ight )- n_Qleft ( t ight ) sinleft ( 2 pi f_ct ight ) ight ) cosleft ( 2 pi f_ct ight )$$

$$Rightarrow v_2left ( t ight )=left [ A_c mleft ( t ight )+n_Ileft ( t ight ) ight ] cos^2left ( 2 pi f_ct ight )-n_Qleft ( t ight ) sinleft ( 2 pi f_ct ight ) cosleft ( 2 pi f_ct ight )$$

$$Rightarrow v_2left ( t ight )=left [ A_c mleft ( t ight )+n_Ileft ( t ight ) ight ] left ( ffrac{1+ cosleft ( 4 pi f_ct ight )}{2} ight ) -n_Qleft ( t ight )ffrac{ sinleft ( 4 pi f_ct ight )}{2}$$

当上述信号作为低通滤波器的输入时，我们将得到低通滤波器的输出

$$dleft ( t ight )=ffrac{left [ A_c mleft ( t ight )+n_Ileft ( t ight ) ight ]}{2}$$

解调信号的平均功率为

$$P_m=left ( ffrac{A_cmleft ( t ight )}{2sqrt{2}} ight )^2=ffrac{{A_{c}}^{2}P}{8}$$

输出端噪声的平均功率为

$$P_{no}=ffrac{WN_0}{4}$$

将这些值代入输出 SNR公式中。

$$left ( SNR ight )_{O,DSBSC}= ffrac {解调信号的平均功率 :: :: }{噪声的平均功率 :: :: ::输出}$$

$$Rightarrow left ( SNR ight )_{O,DSBSC}=left ( ffrac{{A_{c}}^{2}P}{8} ight )/ left ( ffrac{WN_0}{4} ight )=ffrac{{A_{c}}^{2}P}{2WN_0}$$

代入 DSBSC 接收器公式的品质因数中的值。

$$F=ffrac{left ( SNR ight )_{O,DSBSC}}{left ( SNR ight )_{C,DSBSC}}$$

$$Rightarrow F= left ( ffrac{{A_{c}}^{2}P}{2WN_0} ight )/ left ( ffrac{{A_{c}}^{2}P}{2WN_0} ight )$$

$$Rightarrow F= 1$$

因此，DSBSC 接收机的品质因数为 1。

SSBSC 系统中的 SNR 计算

考虑以下 SSBSC 系统接收机模型来分析噪声。

SSBSC 系统接收机模型

我们知道具有下边带的 SSBSC 调制波是

$$sleft ( t ight )=ffrac{A_mA_c}{2} cos left [ 2 pileft ( f_c-f_m ight )t ight ]$$

SSBSC 调制波的平均功率为

$$P_s=left ( ffrac{A_mA_c}{2sqrt{2}} ight )^2=ffrac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{8}$$

消息带宽中噪声的平均功率为

$$P_{nc}=WN_0$$

将这些值代入信道 SNR公式中。

$$left ( SNR ight )_{C,SSBSC}= ffrac {SSBSC :: 调制波的平均功率 ::}{消息中噪声的平均功率 :: :: 带宽}$$

$$Rightarrow left ( SNR ight )_{C,SSBSC}=ffrac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{8WN_0}$$

假设带通噪声与信道中的 SSBSC 调制波混合，如上图所示。此组合作为产品调制器的输入之一。因此，该乘积调制器的输入为

$$v_1left ( t ight )=sleft ( t ight )+nleft ( t ight )$$

$$v_1left ( t ight )=ffrac{A_mA_c}{2} cosleft [ 2 pi left ( f_c-f_m ight )t ight ] + n_Ileft ( t ight ) cosleft ( 2 pi f_ct ight )-n_Qleft ( t ight ) sin left ( 2 pi f_ct ight )$$

本地振荡器生成载波信号 $cleft ( t ight )= cos left ( 2 pi f_ct ight ) $。该信号作为乘积调制器的另一个输入。因此，乘积调制器产生一个输出，它是 $v_1left ( t ight )$ 和 $cleft ( t ight )$ 的乘积。

$$v_2left ( t ight )=v_1left ( t ight )c left ( t ight )$$

代入上述等式中的 $v_1left ( t ight )$ 和 $ cleft ( t ight )$ 值。

$Rightarrow v_2(t)= (ffrac{A_mA_c}{2} cos[ 2 pi ( f_c-f_m )t ] + n_I ( t ) cos ( 2 pi f_ct )-$

$n_Q( t ) sin ( 2 pi f_ct ) )cos ( 2 pi f_ct )$

$Rightarrow v_2left ( t ight )=ffrac{A_mA_c}{2} cosleft [ 2 pi left ( f_c-f_m ight )t ight ] cosleft ( 2 pi f_ct ight )+$

$n_Ileft ( t ight ) cos^2left ( 2 pi f_ct ight )-n_Qleft ( t ight ) sinleft ( 2 pi f_ct ight ) cosleft ( 2 pi f_ct ight )$

$Rightarrow v_2left ( t ight )=ffrac{A_mA_c}{4} left { cosleft [ 2 pileft ( 2f_c-f_m ight )t ight ] + cos left ( 2 pi f_mt ight ) ight }+$

$n_Ileft ( t ight )left ( ffrac{1+ cosleft ( 4 pi f_ct ight )}{2} ight )- n_Qleft ( t ight )ffrac{sin left ( 4 pi f_ct ight )}{2}$

当上述信号作为低通滤波器的输入时，我们将得到低通滤波器的输出为

$$dleft ( t ight )=ffrac{A_mA_c}{2} cosleft ( 2 pi f_mt ight )+ffrac{n_Ileft ( t ight )}{2}$$

解调信号的平均功率为

$$P_m=left ( ffrac{A_mA_c}{4sqrt{2}} ight )^2=ffrac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{32}$$

输出端噪声的平均功率为

$$P_{no}=ffrac{WN_0}{4}$$

将这些值代入输出 SNR公式

$$left ( SNR ight )_{O,SSBSC}= ffrac {解调信号的平均功率 ::}{输出端噪声的平均功率 ::}$$

$$Rightarrow left ( SNR ight )_{O,SSBSC}= left ( ffrac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{32} ight )/left ( ffrac{WN_0}{4} ight )=ffrac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{8WN_0}$$

代入SSBSC 接收机品质因数公式中的值

$$F=ffrac{left ( SNR ight )_{O,SSBSC}}{left ( SNR ight )_{C,SSBSC}}$$

$$F=left ( ffrac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{8WN_0} ight )/left ( ffrac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{8WN_0} ight )$$

$$F=1$$

因此，SSBSC 接收机的品质因数为 1。


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