控制系统 -根轨迹

在根轨迹图中，我们可以观察到闭环极点的路径。因此，我们可以识别控制系统的性质。在这种技术中，我们将使用开环传递函数来了解闭环控制系统的稳定性。

根轨迹的基础知识

根轨迹是通过将系统增益 K 从零变为无穷大而得到的特征方程根的轨迹。

我们知道，闭环控制系统的特征方程是

$$1+G(s)H(s)=0$$

我们可以将 $G(s)H(s)$ 表示为

$$G(s)H(s)=Kffrac{N(s)}{D(s)}$$

其中，

• K 表示乘数

• N(s) 表示具有（因式分解）n^阶 多项式的分子项's' 的。

• D(s) 表示具有（分解的）m^阶 's' 多项式的分母项。

代入特征方程中的 $G(s)H(s)$ 值。

$$1+kffrac{N(s)}{D(s)}=0$$

$$Rightarrow D(s)+KN(s)=0$$

情况 1 − K = 0

如果 $K=0$，则 $D(s)=0$。

这意味着，当 K 为零时，闭环极点等于开环极点。

情况 2 − K = ∞

将上述特征方程重写为

$$Kleft(ffrac{1}{K}+ffrac{N(s)}{D(s)} ight )=0 Rightarrow ffrac{1}{K}+ffrac{N(s)}{D(s)}=0$$

代入上述方程中的 $K = infty$。

$$ffrac{1}{infty}+ffrac{N(s)}{D(s)}=0 Rightarrow ffrac{N(s)}{D(s)}=0 Rightarrow N(s)=0$$

如果 $K=infty$，则 $N(s)=0$。这意味着当 K 为无穷大时，闭环极点等于开环零点。

从以上两种情况可以得出，根轨迹分支始于开环极点，终止于开环零点。

角度条件和幅值条件

根轨迹分支上的点满足角度条件。因此，角度条件用于判断该点是否存在于根轨迹分支上。我们可以通过幅值条件找到根轨迹分支上点的 K 值。因此，我们可以对这些点使用幅度条件，这满足角度条件。

闭环控制系统的特征方程为

$$1+G(s)H(s)=0$$

$$Rightarrow G(s)H(s)=-1+j0$$

$G(s)H(s)$的相位角为

$$angle G(s)H(s)= an^{-1}left ( ffrac{0}{-1} ight )=(2n+1)pi$$

角度条件是开环传递函数的角度为180⁰的奇数倍的点。

$G(s)H(s)$的幅度为-

$$|G(s)H(s)|=sqrt {(-1)^2+0^2}=1$$

幅度条件是开环传递函数的幅度为 1 的点（满足角度条件）。