仿射集

如果对于任意两个不同的点，经过这两个点的直线位于集合 $A$ 中，则集合 $A$ 被称为仿射集。

注意 −

• 当且仅当 $S$ 包含其点的每个仿射组合时，它才是仿射集。

• 空集和单集既是仿射集又是凸集。

  例如，线性方程的解就是仿射集。

证明

设 S 为线性方程的解。

根据定义，$S=left { x in mathbb{R}^n:Ax=b ight }$

设 $x_1,x_2 in SRightarrow Ax_1=b$ 且 $Ax_2=b$

证明：$Aleft [ heta x_1+left ( 1- heta ight )x_2 ight ]=b, fforall heta inleft ( 0,1 ight )$

$Aleft [ heta x_1+left ( 1- heta ight )x_2 ight ]= heta Ax_1+left ( 1- heta ight )Ax_2= heta b+left ( 1- heta ight )b=b$

因此 S 是仿射集。

定理

若 $C$ 是仿射集且 $x_0 in C$，则集合 $V= C-x_0=left { x-x_0:x in C ight }$ 是 C 的一个子空间。

证明

设 $x_1,x_2 in V$

为了证明：对于某些 $alpha,\beta$，$alpha x_1+\beta x_2 in V$

现在，根据 V 的定义，$x_1+x_0 in C$ 和 $x_2+x_0 in C$

现在，$alpha x_1+\beta x_2+x_0=alpha left ( x_1+x_0 ight )+\beta left ( x_2+x_0 ight )+left ( 1-alpha -\beta ight )x_0$

但 $alpha left ( x_1+x_0 ight )+\beta left ( x_2+x_0 ight )+left ( 1-alpha -\beta ight )x_0 in C$ 因为 C 是仿射集。

因此，$alpha x_1+\beta x_2 in V$

由此证明。