伪凸函数

设 $f:S ightarrow mathbb{R}$ 为可微函数，S 为 $mathbb{R}^n$ 中的非空凸集，则如果对于每个 $x_1,x_2 in S$，且 $\bigtriangledown fleft ( x_1 ight )^Tleft ( x_2-x_1 ight )geq 0$，则 f 称为伪凸函数，我们有 $fleft ( x_2 ight )geq fleft ( x_1 ight )$，或者等效地，如果 $fleft ( x_1 ight )>fleft ( x_2 ight )$，则 $\bigtriangledown fleft ( x_1 ight )^Tleft ( x_2-x_1 ight )<0$

伪凹函数

设 $f:S ightarrow mathbb{R}$ 为可微函数，S 为 $mathbb{R}^n$ 中的非空凸集，则如果对于每个 $x_1, x_2 in S$ 且 $\bigtriangledown fleft ( x_1 ight )^Tleft ( x_2-x_1 ight )geq 0$，则 f 称为伪凸函数，我们有 $fleft ( x_2 ight )leq fleft ( x_1 ight )$，或者等效地，如果 $fleft ( x_1 ight )>fleft ( x_2 ight )$ 则 $\bigtriangledown fleft ( x_1 ight )^Tleft ( x_2-x_1 ight )>0$

备注

• 如果一个函数既是伪凸函数又是伪凹函数，则称其为伪线性函数。

• 可微分凸函数也是伪凸函数。

• 伪凸函数可能不是凸函数。例如，

  $fleft ( x ight )=x+x^3$ 不是凸函数。如果 $x_1 leq x_2,x_{1}^{3} leq x_{2}^{3}$

  因此，$\bigtriangledown fleft ( x_1 ight )^Tleft ( x_2-x_1 ight )=left ( 1+3x_{1}^{2} ight )left ( x_2-x_1 ight ) geq 0$

  并且，$fleft ( x_2 ight )-fleft ( x_1 ight )=left ( x_2-x_1 ight )+left ( x_{2}^{3} -x_{1}^{3} ight )geq 0$

  $Rightarrow fleft ( x_2 ight )geq fleft ( x_1 ight )$

  因此，它是伪凸的。

  伪凸函数严格是拟凸的。因此，伪凸函数的每个局部极小值也是全局极小值。

严格伪凸函数

设 $f:S ightarrow mathbb{R}$ 为可微函数，S 为 $mathbb{R}^n$ 中的非空凸集，则如果对于每个 $x_1,x_2 in S$ 且 $\bigtriangledown fleft ( x_1 ight )^Tleft ( x_2-x_1 ight )geq 0$，有 $fleft ( x_2 ight )> fleft ( x_1 ight )$，或者等效地，如果 $fleft ( x_1 ight )geq fleft ( x_2 ight )$ 则 $\bigtriangledown fleft ( x_1 ight )^Tleft ( x_2-x_1 ight )<0$

定理

设f为伪凸函数，设$\bigtriangledown fleft ( hat{x} ight )=0$对某个$hat{x} in S$，则$hat{x}$为f在S上的全局最优解。

证明

设$hat{x}$为f的一个临界点，即$\bigtriangledown fleft ( hat{x} ight )=0$

由于f为伪凸函数，对$x in S$有

$$\bigtriangledown fleft ( hat{x} ight )left ( x-hat{x} ight )=0 Rightarrow fleft ( hat{x} ight )leq fleft ( x ight ), fforall x in S$$

因此，$hat{x}$为全局最优解。

备注

若f为严格伪凸函数，则$hat{x}$为唯一全局最优解。

定理

若f为S上的可微伪凸函数，则f既为严格拟凸函数，又为拟凸函数。

备注

• 在$mathbb{R}^n$的开集S上定义的两个伪凸函数之和可能不是伪凸函数。

• 设$f:S ightarrow mathbb{R}$为拟凸函数，且 S 为 $mathbb{R}^n$ 的非空凸子集，则当且仅当每个临界点都是 S 上 f 的全局最小值时，f 才是伪凸函数。

• 设 S 为 $mathbb{R}^n$ 的非空凸子集，且 $f:S ightarrow mathbb{R}$ 为满足以下条件的函数：对于每个 $x in S$，$\bigtriangledown fleft ( x ight ) eq 0$，则当且仅当 f 为拟凸函数时，f 才是伪凸函数。