内积

内积是一个将标量赋予一对向量的函数。

内积 − $f:mathbb{R}^n imes mathbb{R}^n ightarrow kappa$ 其中 $kappa$ 为标量。

内积的基本特征如下 −

设 $X in mathbb{R}^n$

• $left langle x,x ight anglegeq 0, fforall x in X$

• $left langle x,x ight angle=0Leftrightarrow x=0, fforall x in X$

• $left langle alpha x,y ight angle=alpha left langle x,y ight angle,fforall alpha in kappa : 和: fforall x,y in X$

• $left langle x+y,z ight angle =left langle x,z ight angle +left langle y,z ight angle, fforall x,y,z in X$

• $left langle overline{y,x} ight angle=left ( x,y ight ), fforall x, y in X$

注意 −

• 范数与内积的关系：$left | x ight |=sqrt{left ( x,x ight )}$

• $fforall x,y in mathbb{R}^n,left langle x,y ight angle=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n$

示例

1.求 $x=left ( 1,2,1 ight ): 和 : y=left ( 3,-1,3 ight )$ 的内积

解决方案

$left langle x,y ight angle =x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3$

$left langle x,y ight angle=left ( 1 imes3 ight )+left ( 2 imes-1 ight )+left ( 1 imes3 ight )$

$left langle x,y ight angle=3+left ( -2 ight )+3$

$left langle x,y ight angle=4$

2.如果 $x=left ( 4,9,1 ight ),y=left ( -3,5,1 ight )$ 且 $z=left ( 2,4,1 ight )$，求 $left ( x+y,z ight )$

解决方案

我们知道，$left langle x+y,z ight angle=left langle x,z ight angle+left langle y,z ight angle$

$left langle x+y,z ight angle=left ( x_1z_1+x_2z_2+x_3z_3 ight )+left ( y_1z_1+y_2z_2+y_3z_3 ight )$

$left langle x+y,z 视角 角=left { left ( 4 imes 2 视角 )+left ( 9 imes 4 视角 )+left ( 1 imes1 视角 ) 视角 }+$

$left { left ( -3 imes2 视角 )+left ( 5 imes4 视角 )+left ( 1 imes 1 视角 ) 视角 }$

$left langle x+y,z 视角 角=left ( 8+36+1 视角 )+left ( -6+20+1 视角 )$

$left langle x+y,z 视角 角=45+15$

$left langle x+y,z 视角 角度=60$