卡拉西奥多里定理

设 S 为 $mathbb{R}^n$ 中的任意集合。如果 $x in Coleft ( S ight )$，则 $x in Coleft ( x_1,x_2,....,x_n,x_{n+1} ight )$。

证明

由于 $x in Coleft ( S ight )$，则 $x$ 由 S 中有限个点的凸组合表示，即

$x=displaystylesumlimits_{j=1}^k lambda_jx_j,displaystylesumlimits_{j=1}^k lambda_j=1, lambda_j geq 0$ 和 $x_j in S， fforall j in left ( 1,k ight )$

若$k leq n+1$，则所得结果显然成立。

若$k geq n+1$，则$left ( x_2-x_1 ight )left ( x_3-x_1 ight ),....., left ( x_k-x_1 ight )$是线性相关的。

$Rightarrow exists mu _j in mathbb{R}, 2leq jleq k$（不全为零）使得$displaystylesumlimits_{j=2}^k mu _jleft ( x_j-x_1 ight )=0$

定义$mu_1=-displaystylesumlimits_{j=2}^k mu _j$，则 $displaystylesumlimits_{j=1}^k mu_j x_j=0, displaystylesumlimits_{j=1}^k mu_j=0$

其中并非所有 $mu_j$ 都等于零。由于 $displaystylesumlimits_{j=1}^k mu_j=0$，至少有一个 $mu_j > 0,1 leq j leq k$

则，$x=displaystylesumlimits_{1}^k lambda_j x_j+0$

$x=displaystylesumlimits_{1}^k lambda_j x_j- alpha displaystylesumlimits_{1}^k mu_j x_j$

$x=displaystylesumlimits_{1}^kleft ( lambda_j- alphamu_j ight )x_j $

选择 $alpha$，使得 $alpha=minleft { ffrac{lambda_j}{mu_j}， mu_jgeq 0 ight }=ffrac{lambda_j}{mu _j},$ 其中 $i=1,2,...,k$

如果 $mu_jleq 0, lambda_j-alpha mu_jgeq 0$

如果 $mu_j> 0, 则 :ffrac{lambda _j}{mu_j}geq ffrac{lambda_i}{mu _i}=alpha Rightarrow lambda_j-alpha mu_jgeq 0, j=1,2,...k$

具体来说, $lambda_i-alpha mu_i=0$, 根据 $alpha$ 的定义

$x=displaystylesumlimits_{j=1}^k left ( lambda_j- alphamu_j ight )x_j$，其中

$lambda_j- alphamu_jgeq0$ 且 $displaystylesumlimits_{j=1}^kleft ( lambda_j- alphamu_j ight )=1$ 且 $lambda_i- alphamu_i=0$

因此，x 可以表示为最多 (k-1) 个点的凸组合。

此归约过程可以重复，直到 x 表示为 (n+1) 个元素的凸组合。