最近点定理

设 S 为 $mathbb{R}^n$ 中的非空闭凸集，且 $y otin S$，则 $存在$一个点 $\bar{x}in S$，且与 y 的距离最小，即 $left | y-\bar{x} ight | leq left | y-x ight | fforall x in S.$

此外，$\bar{x}$是极小点当且仅当 $left ( y-hat{x} ight )^{T}left ( x-hat{x} ight )leq 0$或$left ( y-hat{x}, x-hat{x} ight )leq 0$

证明

最近点的存在

由于$S e phi,exists$存在一个点$hat{x}in S$，使得S与y的最小距离小于或等于$left | y-hat{x} ight |$。

定义$hat{S}=S cap left { x:left | y-x ight |leq left | y-hat{x} ight | ight }$

由于 $ hat{S}$ 是封闭且有界的，并且范数是连续函数，则根据魏尔斯特拉斯定理，存在一个最小点 $h​​at{x} in S$ 使得 $left | y-hat{x} ight |=Infleft { left | y-x ight |,x in S ight }$

唯一性

假设 $\bar{x} in S$ 使得 $left | y-hat{x} ight |=left | y-hat{x} ight |= alpha$

由于 S 是凸的，$ffrac{hat{x}+\bar{x}}{2} in S$

但是，$left | y-ffrac{hat{x}-\bar{x}}{2} ight |leq ffrac{1}{2}left | y-hat{x} ight |+ffrac{1}{2}left | y-\bar{x} ight |=alpha$

这不能是严格不等式，因为 $hat{x}$ 与 y 最接近。

因此，$left | y-hat{x} ight |=mu left | y-hat{x} ight |$，对于某个 $mu$

现在 $left | mu ight |=1.$ 如果 $mu=-1$，则 $left ( y-hat{x} ight )=-left ( y-hat{x} ight )Rightarrow y=ffrac{hat{x}+\bar{x}}{2} in S$

但 $y in S$。因此矛盾。因此 $mu=1 Rightarrow hat{x}=\bar{x}$

因此，最小化点是唯一的。

对于证明的第二部分，假设对于所有 $xin S$，$left ( y-hat{x} ight )^{ au }left ( x-\bar{x} ight )leq 0$

现在，

$left | y-x ight |^{2}=left | y-hat{x}+ hat{x}-x ight |^{2}=left | y-hat{x} ight |^{2}+left |hat{x}-x ight |^{2}+2left (hat{x}-x ight )^{ au }left ( y-hat{x} ight )$

$Rightarrow left | y-x ight |^{2}geq left | y-hat{x} ight |^{2}$ 因为 $left | hat{x}-x ight |^{2}geq 0$ 和 $left ( hat{x}- x ight )^{T}left ( y-hat{x} ight )geq 0$

因此，$hat{x}$ 为极小点。

相反，假设 $hat{x}$ 为极小点。

$Rightarrow left | y-x ight |^{2}geq left | y-hat{x} ight |^2 fforall x in S$

由于 S 是凸集。

$Rightarrow lambda x+left ( 1-lambda ight )hat{x}=hat{x}+lambdaleft ( x-hat{x} ight ) in S$ 其中 $x in S$ 和 $lambda in left ( 0,1 ight )$

现在，$left | y-hat{x}-lambdaleft ( x-hat{x} ight ) ight |^{2}geq left | y-hat{x} ight |^2$

并且

$left | y-hat{x}-lambdaleft ( x-hat{x} ight ) ight |^{2}=left | y-hat{x} ight |^{2}+lambda^2left | x-hat{x} ight |^{2}-2lambdaleft ( y-hat{x} ight )^{T}left ( x-hat{x} ight )$

$Rightarrow left | y-hat{x} ight |^{2}+lambda^{2}left | x-hat{x} ight |-2 lambdaleft ( y-hat{x} ight )^{T}left ( x-hat{x} ight )geq left | y-hat{x} ight |^{2}$

$Rightarrow 2 lambdaleft ( y-hat{x} ight )^{T}left ( x-hat{x} ight )leq lambda^2left | x-hat{x} ight |^2$

$Rightarrow left ( y-hat{x} ight )^{T}left ( x-hat{x} ight )leq 0$

因此证明。