凸包

S 中一组点的凸包是包含 S 中所有点的最小凸区域的边界，这些点位于凸区域内部或边界上。

或

设 $Ssubseteq mathbb{R}^n$ S 的凸包，记为 $Coleft ( S ight )$，是 S 所有凸组合的集合，即 $x in Coleft ( S ight )$ 当且仅当 $x in displaystylesumlimits_{i=1}^n lambda_ix_i$，其中 $displaystylesumlimits_{1}^n lambda_i=1$ 且 $lambda_i geq 0 fforall x_i in S$

备注 −平面上 S 中一组点的凸包定义一个凸多边形，S 中位于多边形边界上的点定义该多边形的顶点。

定理$Coleft ( S ight )= left { x:x=displaystylesumlimits_{i=1}^n lambda_ix_i,x_i in S, displaystylesumlimits_{i=1}^n lambda_i=1,lambda_i geq 0 ight }$ 证明凸包是凸集。

证明

设 $x_1,x_2 in Coleft ( S ight )$，则 $x_1=displaystylesumlimits_{i=1}^n lambda_ix_i$ 和 $x_2=displaystylesumlimits_{i=1}^n lambda_gamma x_i$ 其中 $displaystylesumlimits_{i=1}^n lambda_i=1, lambda_igeq 0$ 和 $displaystylesumlimits_{i=1}^n gamma_i=1,gamma_igeq0$

对于 $ heta in left ( 0,1 ight )，heta x_1+left ( 1- heta ight )x_2= heta displaystylesumlimits_{i=1}^n lambda_ix_i+left ( 1- heta ight )displaystylesumlimits_{i=1}^n gamma_ix_i$

$ heta x_1+left ( 1- heta ight )x_2=displaystylesumlimits_{i=1}^n lambda_i heta x_i+displaystylesumlimits_{i=1}^n gamma_ileft ( 1- heta ight )x_i$

$ heta x_1+left ( 1- heta ight )x_2=displaystylesumlimits_{i=1}^nleft [ lambda_i heta +gamma_ileft ( 1- heta ight ) ight ]x_i$

考虑系数，

$displaystylesumlimits_{i=1}^nleft [ lambda_i heta +gamma_ileft ( 1- heta ight ) ight ]= heta displaystylesumlimits_{i=1}^n lambda_i+left ( 1- heta ight )displaystylesumlimits_{i=1}^ngamma_i= heta +left ( 1- heta ight )=1$

因此，$ heta x_1+left ( 1- heta ight )x_2 in Coleft ( S ight )$

因此，凸包是凸集。