拟凸函数和拟凸函数

设 $f:S ightarrow mathbb{R}$，其中 $S subset mathbb{R}^n$ 为非空凸集。如果对于每个 $x_1,x_2 in S$，都有 $fleft ( lambda x_1+left ( 1-lambda ight )x_2 ight )leq maxleft { fleft ( x_1 ight ),fleft ( x_2 ight ) ight },lambda in left ( 0, 1 ight )$

例如，$fleft ( x ight )=x^{3}$

设 $f:S ightarrow R $，其中 $Ssubset mathbb{R}^n$ 为非空凸集。如果对于每个 $x_1, x_2 in S$，我们有 $fleft ( lambda x_1+left ( 1-lambda ight )x_2 ight )geq minleft { fleft ( x_1 ight ),fleft ( x_2 ight ) ight }, lambda in left ( 0, 1 ight )$，则函数 f 被称为拟凸函数。

备注

• 每个凸函数都是拟凸函数，但反之则不成立。
• 既是拟凸函数又是拟凹函数的函数称为拟单调函数。

定理

设 $f:S ightarrow mathbb{R}$且 S 是 $mathbb{R}^n$ 中的非空凸集。函数 f 是拟凸函数当且仅当 $S_{alpha} =left ( x in S:fleft ( x ight )leq alpha ight }$ 对于每个实数 alpha$ 都是凸函数

证明

设 f 在 S 上是拟凸函数。

设 $x_1,x_2 in S_{alpha}$ 因此 $x_1,x_2 in S$ 且 $max left { fleft ( x_1 ight ),fleft ( x_2 ight ) ight }leq alpha$

设 $lambda in left (0, 1 ight )$ 且设 $x=lambda x_1+left ( 1-lambda ight )x_2leq max left { fleft ( x_1 ight ),fleft ( x_2 ight ) ight }Rightarrow x in S$

因此，$fleft ( lambda x_1+left ( 1-lambda ight )x_2 ight )leq maxleft { fleft ( x_1 ight ), fleft ( x_2 ight ) ight }leq alpha$

因此，$S_{alpha}$ 是凸的。

逆

设 $S_{alpha}$ 对每个 $alpha$ 都是凸的

$x_1,x_2 in S, lambda in left ( 0,1 ight )$

$x=lambda x_1+left ( 1-lambda ight )x_2$

设 $x=lambda x_1+left ( 1-lambda ight )x_2$

对于 $x_1, x_2 in S_{alpha}, alpha= max left { fleft ( x_1 ight ), fleft ( x_2 ight ) ight }$

$Rightarrow lambda x_1+left (1-lambda ight )x_2 in S_{alpha}$

$Rightarrow f left (lambda x_1+left (1-lambda ight )x_2 ight )leq alpha$

由此可证。

定理

设 $f:S ightarrow mathbb{R}$，S 是 $mathbb{R}^n$ 中的非空凸集。函数 f 为拟凹函数当且仅当 $S_{alpha} =left { x in S:fleft ( x ight )geq alpha ight }$ 对每个实数 $alpha$ 都是凸函数。

定理

设 $f:S ightarrow mathbb{R}$，S 是 $mathbb{R}^n$ 中的非空凸集。函数 f 是拟单调的当且仅当 $S_{alpha} =left { x in S:fleft ( x ight )= alpha ight }$ 对于每个实数 $alpha$ 都是凸的。