范数

范数是赋予向量或变量严格正值的函数。

范数是函数 $f:mathbb{R}^n ightarrow mathbb{R}$

范数的基本特征是 −

设 $X$ 为向量，且 $Xin mathbb{R}^n$

• $left | x ight |geq 0$

• $left | x ight |= 0 Leftrightarrow x= 0fforall x in X$

• $left |alpha x ight |=left | alpha ight |left | x ight |fforall :x in X 并且 :alpha :is :a :scalar$

• $left | x+y ight |leq left | x ight |+left | y ight | fforall x,y in X$

• $left | x-y ight |geq left | left | x ight |-left | y ight | ight |$

根据定义，范数的计算方法如下 −

• $left | x ight |_1=displaystylesumlimits_{i=1}^nleft | x_i ight |$

• $left | x ight |_2=left ( displaystylesumlimits_{i=1}^nleft | x_i ight |^2 ight )^{ffrac{1}{2}}$

• $left | x ight |_p=left ( displaystylesumlimits_{i=1}^nleft | x_i ight |^p ight )^{ffrac{1}{p}},1 leq p leq infty$

范数是一个连续函数。

证明

根据定义，如果 $x_n ightarrow x$ 位于 $XRightarrow fleft ( x_n ight ) ightarrow fleft ( x ight ) $ 中，则 $fleft ( x ight )$ 是一个常数函数。

设 $fleft ( x ight )=left | x ight |$

因此，$left | fleft ( x_n ight )-fleft ( x ight ) ight |=left | left | x_n ight | -left | x ight | ight |leq left | left | x_n-x ight | : ight |$

由于 $x_n ightarrow x$ 因此，$left | x_n-x ight | ightarrow 0$

因此 $left | fleft ( x_n ight )-fleft ( x ight ) ight |leq 0Rightarrow left | fleft ( x_n ight )-fleft ( x ight ) ight |=0Rightarrow fleft ( x_n ight ) ightarrow fleft ( x ight )$

因此，范数是一个连续函数。