Fritz-John 条件

必要条件

定理

考虑问题 − $min fleft ( x ight )$ 使得 $x in X$ 其中 X 是 $mathbb{R}^n$ 中的开集，且令 $g_i left ( x ight ) leq 0, fforall i =1,2,....m$。

令 $f:X ightarrow mathbb{R}$ 和 $g_i:X ightarrow mathbb{R}$

令 $hat{x}$ 为可行解，且令 f 和 $g_i, i in I$ 在 $hat{x}$ 处可微，且 $g_i, i in J$ 在 $hat{x}$ 处连续。

如果 $hat{x}$ 局部解决上述问题，则存在 $u_0, u_i in mathbb{R}, i in I$ 使得$u_0 \bigtriangledown fleft ( hat{x} ight )+displaystylesumlimits_{iin I} u_i \bigtriangledown g_i left ( hat{x} ight )$=0

其中 $u_0,u_i geq 0,i in I$ 且 $left ( u_0, u_I ight ) eq left ( 0,0 ight )$

此外，如果 $g_i,i in J$ 在 $hat{x}$ 处也是可微的，则上述条件可以写成 −

$u_0 \bigtriangledown fleft ( hat{x} ight )+displaystylesumlimits_{i=1}^m u_i \bigtriangledown g_ileft ( hat{x} ight )=0$

$u_ig_ileft (hat{x} ight )$=0

$u_0,u_i geq 0, fforall i=1,2,....,m$

$left (u_0,u ight ) eq left ( 0,0 ight ), u=left ( u_1,u_2,s,u_m ight ) in mathbb{R}^m$

备注

• $u_i$ 称为拉格朗日乘数。

• $hat{x}$ 对于给定问题可行，称为原始可行条件。

• 要求 $u_0 \bigtriangledown fleft (hat{x} ight )+displaystylesumlimits_{i=1}^m u-i \bigtriangledown g_ileft ( x ight )=0$称为对偶可行性条件。

• 条件 $u_ig_ileft ( hat{x} ight )=0, i=1, 2, ...m$称为互补松弛条件。此条件要求 $u_i=0, i in J$

• 原始可行条件、对偶可行性条件和互补松弛性统称为 Fritz-John 条件。

充分条件

定理

如果存在 $hat{x}N_varepsilon left ( hat{x} ight ),varepsilon >0$ 的 $varepsilon$ 邻域，使得 f 在 $N_varepsilon left ( hat{x} ight )cap S$ 上是伪凸的，并且 $g_i,i in I$ 在 $N_varepsilon left ( hat{x} ight )cap S$ 上是严格伪凸的，则 $hat{x}$ 是上述问题的局部最优解。如果 f 在 $hat{x}$ 处为伪凸函数，且 $g_i, i in I$ 在 $hat{x} 处均为严格伪凸函数和拟凸函数，则 hat{x}$ 即为上述问题的全局最优解。

示例

• $min :fleft ( x_1,x_2 ight )=left ( x_1-3 ight )^2+left ( x_2-2 ight )^2$

  使得 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2} leq 5, x_1+2x_2 leq 4, ​​x_1,x_2 geq 0$ 且 $hat{x}=left ( 2,1 ight )$

  设 $g_1left (x_1,x_2 ight )=x_{1}^{2}+x_{2}^{2} -5,$

  $g_2left (x_1,x_2 ight )=x_1+2x_2-4,$

  $g_3left (x_1,x_2 ight )=-x_1$ 和 $g_4left ( x_1, x_2 ight )= -x_2$。

  因此，上述约束可以写成 −

  $g_1left (x_1,x_2 ight )leq 0,$

  $g_2left (x_1,x_2 ight )leq 0,$

  $g_3left (x_1,x_2 ight )leq 0$ 和

  $g_4left (x_1,x_2 ight )leq 0$ 因此，$I = left {1,2 ight }$ 因此， $u_3=0,u_4=0$

  $\bigtriangledown f left (hat{x} ight )=left (2,-2 ight ),\bigtriangledown g_1left (hat{x} ight )=left (4,2 ight )$ 和 $\bigtriangledown g_2left (hat{x} ight )=left (1,2 ight )$

  因此将这些值放入 Fritz-John 条件的第一个条件中，我们得到 −

  $u_0=ffrac{3}{2} u_2, ::u_1= ffrac{1}{2}u_2,$ 并让 $u_2=1$，因此 $u_0= ffrac{3}{2},::u_1= ffrac{1}{2}$

  因此 Fritz John 条件得到满足。

• $min fleft (x_1,x_2 ight )=-x_1$。

  这样 $x_2-left (1-x_1 ight )^3 leq 0$，

  $-x_2 leq 0$ 且 $hat{x}=left (1,0 ight )$

  设 $g_1left (x_1,x_2 ight )=x_2-left (1-x_1 ight )^3$，

  $g_2left (x_1,x_2 ight )=-x_2$

  因此上述约束可以写成−

  $g_1left (x_1,x_2 ight )leq 0,$

  $g_2left (x_1,x_2 ight )leq 0,$

  因此，$I=left {1,2 ight }$

  $\bigtriangledown fleft (hat{x} ight )=left (-1,0 ight )$

  $\bigtriangledown g_1 left (hat{x} ight )=left (0,1 ight )$ 和 $g_2 left (hat{x} ight )=left (0, -1 ight )$

  因此将这些值放入 Fritz-John 条件的第一个条件中，我们得到−

  $u_0=0,:: u_1=u_2=a>0$

  因此 Fritz John 条件得到满足。