凸集

设 $Ssubseteq mathbb{R}^n$ 如果连接集合 S 中任意两点的线段也属于 S，则集合 S 被称为凸集，即，如果 $x_1,x_2 in S$，则 $lambda x_1+left ( 1-lambda ight )x_2 in S$，其中 $lambda inleft ( 0,1 ight )$。

注意 −

• 两个凸集的并集可能是也可能不是凸集。
• 两个凸集的交集总是凸集。

证明

设 $S_1$ 和$S_2$ 是两个凸集。

设 $S_3=S_1 cap S_2$

设 $x_1,x_2 in S_3$

由于 $S_3=S_1 cap S_2$，因此 $x_1,x_2 in S_1$ 和 $x_1,x_2 in S_2$

由于 $S_i$ 是凸集，$fforall$ $i in 1,2,$

因此 $lambda x_1+left ( 1-lambda ight )x_2 in S_i$ 其中 $lambda in left ( 0,1 ight )$

因此，$lambda x_1+left ( 1-lambda ight )x_2 in S_1cap S_2$

$Rightarrow lambda x_1+left ( 1-lambda ight )x_2 in S_3$

因此，$S_3$是凸集。

• 形式为$displaystylesumlimits_{i=1}^k lambda_ix_i$的加权平均值，其中$displaystylesumlimits_{i=1}^k lambda_i=1$且$lambda_igeq 0,fforall i in left [ 1,k ight ]$的加权平均值称为$x_1,x_2,....x_k.$的圆锥组合。

• 形式为$displaystylesumlimits_{i=1}^k lambda_ix_i$，其中 $displaystylesumlimits_{i=1}^k lambda_i=1$ 称为 $x_1,x_2,....x_k.$ 的仿射组合

• 形式为 $displaystylesumlimits_{i=1}^k lambda_ix_i$ 的加权平均值称为 $x_1,x_2,....x_k.$ 的线性组合

示例

步骤 1 −证明集合 $S=left { x in mathbb{R}^n:Cxleq alpha ight }$ 是凸集。

解答

设 $x_1$ 和 $x_2 in S$

$Rightarrow Cx_1leq alpha$ 和 $:and :Cx_2leq alpha$

证明：$::y=left ( lambda x_1+left ( 1-lambda ight )x_2 ight )in S :fforall :lambda inleft ( 0,1 ight )$

$Cy=Cleft ( lambda x_1+left ( 1-lambda ight )x_2 ight )=lambda Cx_1+left ( 1-lambda ight )Cx_2$

$Rightarrow Cyleq lambda alpha+left ( 1-lambda ight )alpha$

$Rightarrow Cyleq alpha$

$Rightarrow yin S$

因此，$S$ 是凸集。

步骤 2 −证明集合 $S=left { left ( x_1,x_2 ight )in mathbb{R}^2:x_{1}^{2}leq 8x_2 ight }$ 是凸集。

解决方案

设 $x,y in S$

设 $x=left ( x_1,x_2 ight )$ 和 $y=left ( y_1,y_2 ight )$

$Rightarrow x_{1}^{2}leq 8x_2$ 和 $y_{1}^{2}leq 8y_2$

为了证明 − $lambda x+left ( 1-lambda ight )yin SRightarrow lambda left ( x_1,x_2 ight )+left (1-lambda ight )left ( y_1,y_2 ight ) in SRightarrow left [ lambda x_1+left ( 1- lambda)y_2] in S ight ) ight ]$

$现在，left [lambda x_1+left ( 1-lambda ight )y_1 ight ]^{2}=lambda ^2x_{1}^{2}+left ( 1-lambda ight )^2y_{1}^{2}+2 lambdaleft ( 1-lambda ight )x_1y_1$

但 $2x_1y_1leq x_{1}^{2}+y_{1}^{2}$

因此，

$left [ lambda x_1 +left ( 1-lambda ight )y_1 ight ]^{2}leq lambda ^2x_{1}^{2}+left ( 1- lambda ight )^2y_{1}^{2}+2 lambdaleft ( 1- lambda ight )left ( x_{1}^{2}+y_{1}^{2} ight )$

$Rightarrow left [ lambda x_1+left ( 1-lambda ight )y_1 ight ]^{2}leq lambda x_{1}^{2}+left ( 1- lambda ight )y_{1}^{2}$

$Rightarrow left [ lambda x_1+left ( 1-lambda ight )y_1 ight ]^{2}leq 8lambda x_2+8left ( 1- lambda ight )y_2$

$Rightarrow left [ lambda x_1+left ( 1-lambda ight )y_1 ight ]^{2}leq 8left [lambda x_2+left ( 1- lambda ight )y_2 ight ]$

$Rightarrow lambda x+left ( 1- lambda ight )y in S$

步骤 3 − 证明集合 $S in mathbb{R}^n$ 是凸集当且仅当对于每个整数 k，$S$ 中任意 k 个点的每个凸组合都在 $S$ 中。

解决方案

设 $S$ 为凸集。然后，显示；

$c_1x_1+c_2x_2+.....+c_kx_k in S, displaystylesumlimits_{1}^k c_i=1,c_igeq 0, fforall i in 1,2,....,k$

通过归纳证明

对于 $k=1,x_1 in S, c_1=1 Rightarrow c_1x_1 in S$

对于 $k=2,x_1,x_2 in S, c_1+c_2=1$ 并且由于 S 是凸集

$Rightarrow c_1x_1+c_2x_2 in S.$

让 S 的 m 个点的凸组合在 S 中即，

$c_1x_1+c_2x_2+...+c_mx_m in S,displaystylesumlimits_{1}^m c_i=1 ,c_i geq 0, fforall i in 1,2,...,m$

现在，设 $x_1,x_2....,x_m,x_{m+1} in S$

设 $x=mu_1x_1+mu_2x_2+...+mu_mx_m+mu_{m+1}x_{m+1}$

设 $x=left ( mu_1+mu_2+...+mu_m ight )ffrac{mu_1x_1+mu_2x_2+mu_mx_m}{mu_1+mu_2+.........+mu_m}+mu_{m+1}x_{m+1}$

设 $y=ffrac{mu_1x_1+mu_2x_2+...+mu_mx_m}{mu_1+mu_2+.........+mu_m}$

$Rightarrow x=left ( mu_1+mu_2+...+mu_m ight )y+mu_{m+1}x_{m+1}$

现在 $y in S$ 因为系数之和为 1。

$Rightarrow x in S$ 因为 S 是凸集，并且 $y,x_{m+1} in S$

因此通过归纳证明。