强拟凸函数

设 $f:S ightarrow mathbb{R}^n$，且 S 为 $mathbb{R}^n$ 中的非空凸集，则如果对于任意 $x_1,x_2 in S$，且 $left ( x_1 ight ) eq left ( x_2 ight )$，则 f 为强拟凸函数，有 $fleft ( lambda x_1+left ( 1-lambda ight )x_2 ight )< max :left { fleft ( x_1 ight ),fleft ( x_2 ight ) ight },fforall lambda in left ( 0,1 ight )$

定理

A拟凸函数 $f:S ightarrow mathbb{R}^n$ 在非空凸集 S 上，若 $mathbb{R}^n$ 中的点在连接 S 中任意点的线段上不是常数，则该函数为强拟凸函数。

证明

设 f 为拟凸函数，且在连接 S 中任意点的线段上不是常数。

假设 f 不是强拟凸函数。

存在 $x_1,x_2 in S$ 且 $x_1 eq x_2$ 使得

$$fleft ( z ight )geq maxleft { fleft ( x_1 ight ), fleft ( x_2 ight ) ight }, fforall z= lambda x_1+left ( 1-lambda ight )x_2, lambda in left ( 0,1 ight )$$

$Rightarrow fleft ( x_1 ight )leq fleft ( z ight )$ 和 $fleft ( x_2 ight )leq fleft ( z ight )$

由于 f 在 $left [ x_1,z ight ]$ 和 $left [z,x_2 ight ] $ 中不是常数

因此存在 $u in left [ x_1,z ight ]$ 和 $v=left [ z,x_2 ight ]$

$$Rightarrow u= mu_1x_1+left ( 1-mu_1 ight )z,v=mu_2z+left ( 1- mu_2 ight )x_2$$

由于 f 是拟凸的，

$$Rightarrow fleft ( u ight )leq maxleft { fleft ( x_1 ight ),f left ( z ight ) ight }=fleft ( z ight ):: 且 ::f left ( v ight ) leq max left { fleft ( z ight ),fleft ( x_2 ight ) ight }$$

$$Rightarrow fleft ( u ight )leq fleft ( z ight ) :: 且 :: fleft ( v ight )leq fleft ( z ight )$$

$$Rightarrow max left { fleft ( u ight ),fleft ( v ight ) ight } leq fleft ( z ight )$$

但 z 是 u 和 v 之间的任意一点，如果它们中任何一个相等，则 f 为常数。

因此，$max left { fleft ( u ight ),fleft ( v ight ) ight } leq fleft ( z ight )$

这与 f 当 $z in left [ u,v ight ]$ 时准凸性相矛盾。

因此 f 是强准凸函数。

定理

设 $f:S ightarrow mathbb{R}^n$ 且 S 是 $mathbb{R}^n$ 中的非空凸集。如果$hat{x}$是局部最优解，则$hat{x}$是唯一全局最优解。

证明

由于强拟凸函数也是严格拟凸函数，因此局部最优解就是全局最优解。

唯一性 −设 f 在两点 $u,v in S$ 处取得全局最优解

$$Rightarrow fleft ( u ight ) leq fleft ( x ight ).fforall x in S:: 和 ::fleft ( v ight ) leq fleft ( x ight ).fforall x in S$$

若 u 为全局最优解，则 $fleft ( u ight )leq fleft ( v ight )$ 且 $fleft ( v ight )leq fleft ( u ight )Rightarrow fleft ( u ight )=fleft ( v ight )$

$$fleft ( lambda u+left ( 1-lambda ight )v ight )< max left {fleft ( u ight ),fleft ( v ight ) ight }=fleft ( u ight )$$

这是矛盾的。

因此，只有一个全局最优解。

备注

• 强拟凸函数也是严格拟凸函数。
• 严格凸函数可能是也可能不是强拟凸的。
• 可微严格凸是强拟凸的。