Karush-Kuhn-Tucker 最优性必要条件

考虑问题 −

$min :fleft ( x ight )$ 使得 $x in X$，其中 X 是 $mathbb{R}^n$ 中的开集，且 $g_i left ( x ight )leq 0, i=1, 2,...,m$

设 $S=left { x in X:g_ileft ( x ight )leq 0, fforall i ight }$

设 $hat{x} in S$，且设 $f$ 和 $g_i,i in I$ 在 $hat{x}$ 处可微，且 $g_i, i in J$ 在 $hat{x}$ 处连续。此外，$\bigtriangledown g_ileft ( hat{x} ight), i in I$ 是线性独立的。如果 $hat{x}$ 局部解决了上述问题，则存在 $u_i,i in I$ 使得

$\bigtriangledown fleft ( x ight)+displaystylesumlimits_{iin I} u_i \bigtriangledown g_ileft ( hat{x} ight)=0$，$::u_i geq 0, i in I$

如果 $g_i,i in J$ 在 $hat{x}$ 处也是可微的。然后 $hat{x}$，然后

$\bigtriangledown fleft ( hat{x} ight)+displaystylesumlimits_{i= 1}^m u_i \bigtriangledown g_ileft ( hat{x} ight)=0$

$u_ig_ileft ( hat{x} ight)=0, fforall i=1,2,...,m$

$u_i geq 0 fforall i=1,2,...,m$

示例

考虑以下问题 −

$min :fleft ( x_1,x_2 ight )=left ( x_1-3 ight )^2+left ( x_2-2 ight )^2$

使得 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}leq 5$，

$x_1,2x_2 geq 0$ 且 $hat{x}=left ( 2,1 ight )$

设 $g_1left ( x_1, x_2 ight)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-5$，

$g_2left ( x_1, x_2 ight)=x_{1}+2x_2-4$

$g_3left ( x_1, x_2 ight)=-x_{1}$ 且 $g_4left ( x_1,x_2 ight )=-x_2$

因此上述约束可以写成−

$g_1 left ( x_1,x_2 ight)leq 0, g_2 left ( x_1,x_2 ight) leq 0$

$g_3 left ( x_1,x_2 ight)leq 0,$ 和 $g_4 left ( x_1,x_2 ight) leq 0$ 因此，$I=left { 1,2 ight }$ 因此，$ u_3=0,:: u_4=0$

$\bigtriangledown f left ( hat{x} ight)=left ( 2,-2 ight), \bigtriangledown g_1 left ( hat{x} ight)= left ( 4,2 ight)$和

$\bigtriangledown g_2left ( hat{x} ight ) =left ( 1,2 ight )$

因此，将这些值放入 Karush-Kuhn-Tucker 条件的第一个条件中，我们得到 −

$u_1=ffrac{1}{3}$ 和 $u_2=ffrac{2}{3}$

因此，Karush-Kuhn-Tucker 条件得到满足。