詹森不等式

设 S 为 $mathbb{R}^n$ 中的非空凸集，且 $f:S ightarrow mathbb{R}^n$。然后，当且仅当对于每个整数 $k>0$，f 才是凸的

$x_1,x_2,...x_k in S, displaystylesumlimits_{i=1}^k lambda_i=1, lambda_igeq 0, fforall i=1,2,s,k$，我们有 $fleft ( displaystylesumlimits_{i=1}^k lambda_ix_i ight )leq displaystylesumlimits_{i=1}^k lambda _ifleft ( x ight )$

证明

通过对 k 进行归纳。

$k=1:x_1 in S$ 因此 $fleft ( lambda_1 x_1 ight ) leq lambda_i fleft (x_1 ight )$ 因为 $lambda_i=1$。

$k=2:lambda_1+lambda_2=1$ 且 $x_1, x_2 in S$

因此，$lambda_1x_1+lambda_2x_2 in S$

因此根据定义，$fleft ( lambda_1 x_1 +lambda_2 x_2 ight )leq lambda _1fleft ( x_1 ight )+lambda _2fleft ( x_2 ight )$

假设该语句对 $n < k$ 成立

因此，

$fleft ( lambda_1 x_1+ lambda_2 x_2+....+lambda_k x_k ight )leq lambda_1 fleft (x_1 ight )+lambda_2 fleft (x_2 ight )+...+lambda_k fleft (x_k ight )$

$k=n+1:$设 $x_1, x_2,....x_n,x_{n+1} in S$且 $displaystylesumlimits_{i=1}^{n+1}=1$

因此 $mu_1x_1+mu_2x_2+.......+mu_nx_n+mu_{n+1} x_{n+1} in S$

因此，$fleft (mu_1x_1+mu_2x_2+...+mu_nx_n+mu_{n+1} x_{n+1} ight )$

$=fleft ( left ( mu_1+mu_2+...+mu_n ight)ffrac{mu_1x_1+mu_2x_2+...+mu_nx_n}{mu_1+mu_2+mu_3}+mu_{n+1}x_{n+1} ight)$

$=fleft ( mu_y+mu_{n+1}x_{n+1} ight )$ 其中 $mu=mu_1+mu_2+...+mu_n$ 且

$y=ffrac{mu_1x_1+mu_2x_2+...+mu_nx_n}{mu_1+mu_2+...+mu_n}$ 以及 $mu_1+mu_{n+1}=1,y in S$

$Rightarrow fleft ( mu_1x_1+mu_2x_2+...+mu_nx_n+mu_{n+1}x_{n+1} ight ) leq mu fleft ( y ight )+mu_{n+1} fleft ( x_{n+1} ight )$

$Rightarrow fleft ( mu_1x_1+mu_2x_2+...+mu_nx_n+mu_{n+1}x_{n+1} ight ) leq$

$left ( mu_1+mu_2+...+mu_n ight )fleft ( ffrac{mu_1x_1+mu_2x_2+...+mu_nx_n}{mu_1+mu_2+...+mu_n} ight )+mu_{n+1}fleft ( x_{n+1} ight )$

$Rightarrow fleft ( mu_1x_1+mu_2x_2+...+mu_nx_n +mu_{n+1}x_{n+1} ight )leq left ( mu_1+ mu_2+ ...+mu_n ight )$

$left [ ffrac{mu_1}{mu_1+ mu_2+ ...+mu_n}fleft ( x_1 ight )+...+ffrac{mu_n}{mu_1+ mu_2+ ...+mu_n}fleft ( x_n ight ) ight ]+mu_{n+1}fleft ( x_{n+1} ight )$

$Rightarrow fleft ( mu_1x_1+mu_2x_2+...+mu_nx_n+mu_{n+1}x_{n+1} ight )leq mu_1fleft ( x_1 ight )+mu_2fleft ( x_2 ight )+....$

因此证明。