方向

设 S 为 $mathbb{R}^n$ 中的闭凸集。如果对于每个 $x in S,x+lambda d in S, fforall lambda geq 0.$，则非零向量 $d in mathbb{R}^n$ 被称为 S 的方向。

• 如果 $d eq alpha d_2$，且 $ alpha>0$，则 S 的两个方向 $d_1$ 和 $d_2$ 被称为不同的方向。

• 如果 $S$ 的方向 $d$ 不能写成两个不同方向的正线性组合，则称其为极端方向，即，如果对于 $lambda _1, lambda _2>0$，$d=lambda _1d_1+lambda _2d_2$，则对于某个 $alpha$，$d_1= alpha d_2$。

• 任何另一个方向可以表示为极端方向的正组合。

• 对于凸集$S$，对于某个$x in S$，并且所有$lambda geq0$，$x+lambda d in S$的方向d称为对$S$的隐性。

• 设E为$mathbb{R}^n$中非空凸集S上的某个函数$f:S ightarrow$取最大值的点集，则$E$称为$S$的暴露面。暴露面的方向称为暴露方向。

• 方向为极值方向的射线称为极值射线。

示例

考虑函数 $fleft ( x ight )=y=left |x ight |$，其中 $x in mathbb{R}^n$。设 d 为 $mathbb{R}^n$ 中的单位向量

那么，d 就是函数 f 的方向，因为对于任何 $lambda geq 0, x+lambda d in fleft ( x ight )$。