锥体

如果 $x in CRightarrow lambda x in C fforall lambda geq 0$，则称 $mathbb{R}^n$ 中的非空集 C 为顶点为 0 的锥体。

如果集合 C 既是锥体又是凸的，则它为凸锥体。

例如，$y=left | x ight |$ 不是凸锥体，因为它不是凸的。

但是，$y geq left | x ight |$ 是凸锥体，因为它既是锥体又是凸的。

注意 −锥体 C 是凸的当且仅当对于任何 $x,y in C, x+y in C$。

证明

由于 C 是锥体，对于 $x,y in C Rightarrow lambda x in C$ 和 $mu y in C :fforall :lambda, mu geq 0$

若 $lambda x + left ( 1-lambda ight )y in C :fforall :lambda in left ( 0, 1 ight )$，则 C 是凸的

由于 C 是锥体，$lambda x in C$ 和 $left ( 1-lambda ight )y in C Leftrightarrow x,y in C$

因此，如果 $x+y in C$，则 C 是凸的

一般而言，如果 $x_1,x_2 in C$，则 $lambda_1x_1+lambda_2x_2 in C, fforall lambda_1,lambda_2 geq 0$

示例

• $mathbb{R}^n$ 中无限向量集的圆锥组合是凸锥。

• 任何空集都是凸锥。

• 任何线性函数都是凸锥。

• 由于超平面是线性的，因此它也是凸锥。

• 闭半空间也是凸锥。

注意 − 两个凸锥的交点是凸锥，但它们的并集可能是也可能不是凸锥。