凸集的极点

设 S 是 $mathbb{R}^n$ 中的凸集。如果 $x= lambda x_1+left ( 1-lambda ight )x_2$，其中 $x_1, x_2 in S$ 和 $lambda inleft ( 0, 1 ight )Rightarrow x=x_1=x_2$，则向量 $x in S$ 被称为 S 的极点。

示例

步骤 1 − $S=left { left ( x_1,x_2 ight ) in mathbb{R}^2:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}leq 1 ight }$

极值点，$E=left { left ( x_1, x_2 ight )in mathbb{R}^2:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 1 ight }$

步骤 2 − $S=left { left ( x_1,x_2 ight )in mathbb{R}^2:x_1+x_2< 2, -x_1+2x_2leq 2, x_1,x_2geq 0 ight }$

极值点，$E=left { left ( 0, 0 ight), left ( 2, 0 ight), left ( 0, 1 ight), left ( ffrac{2}{3}, ffrac{4}{3} ight) ight }$

步骤 3 − S 是由点 $left { left ( 0,0 ight ), left ( 1,1 ight ), left ( 1,3 ight ), left ( -2,4 ight ),left ( 0,2 ight ) ight }$ 构成的多面体

极点，$E=left { left ( 0,0 ight ), left ( 1,1 ight ),left ( 1,3 ight ),left ( -2,4 ight ) ight }$

备注

• 凸集 S 中的任何点，都可以表示为其极点的凸组合。

• 这只对闭集和有界集成立$mathbb{R}^n$。

• 对于无界集合，这可能不成立。

k 极值点

凸集中的点称为 k 极值当且仅当它是 S 内 k 维凸集的内部点，并且它不是 S 内 (k+1) 维凸集的内部点。基本上，对于凸集 S，k 极值点构成 k 维开放面。