严格拟凸函数

设 $f:S ightarrow mathbb{R}^n$，S 为 $mathbb{R}^n$ 中的非空凸集，则如果对于每个 $x_1,x_2 in S$，且 $fleft ( x_1 ight ) eq fleft ( x_2 ight )$，则称 f 为严格拟凸函数，我们有 $fleft ( lambda x_1+left ( 1-lambda ight )x_2 ight )< max :left { fleft ( x_1 ight ),fleft ( x_2 ight ) ight }$

备注

• 每个严格拟凸函数都是严格凸。
• 严格拟凸函数并不意味着拟凸性。
• 严格拟凸函数可能不是强拟凸的。
• 伪凸函数是严格拟凸函数。

定理

设 $f:S ightarrow mathbb{R}^n$ 为严格拟凸函数，S 为 $mathbb{R}^n$ 中的非空凸集。考虑问题：$min :fleft ( x ight ), x in S$。如果$hat{x}$是局部最优解，则$\bar{x}$是全局最优解。

证明

设存在$ \bar{x} in S$使得$fleft ( \bar{x} ight )leq f left ( hat{x} ight )$

由于$\bar{x},hat{x} in S$且S是凸集，因此，

$$lambda \bar{x}+left ( 1-lambda ight )hat{x}in S, fforall lambda in left ( 0,1 ight )$$

由于$hat{x}$是局部最小值，$fleft ( hat{x} ight ) leq fleft ( lambda \bar{x}+left ( 1-lambda ight )hat{x} ight ), fforall lambda in left ( 0,delta ight )$

由于 f 严格为拟凸函数。

$$fleft ( lambda \bar{x}+left ( 1-lambda ight )hat{x} ight )< max left { fleft ( hat{x} ight ),fleft ( \bar{x} ight ) ight }=fleft ( hat{x} ight )$$

因此，这是矛盾的。

严格拟凹函数

设 $f:S ightarrow mathbb{R}^n$ 且 S 是 $mathbb{R}^n$ 中的非空凸集，则如果对于每个 $x_1,x_2 in S$ 且 $fleft (x_1 ight ) eq fleft (x_2 ight )$，则 f 被视为严格拟凸函数，我们有

$$fleft (lambda x_1+left (1-lambda ight )x_2 ight )> min left { f left (x_1 ight ),fleft (x_2 ight ) ight }$$。

示例

• $fleft (x ight )=x^2-2$

  它是一个严格拟凸函数，因为如果我们取任意两个点$x_1,x_2$ 在满足定义 $fleft (lambda x_1+left (1- lambda ight )x_2 ight )< max left { f left (x_1 ight ),fleft (x_2 ight ) ight }$ 中的约束的域中，因为函数在负 x 轴上递减，在正 x 轴上递增（因为它是抛物线）。

• $fleft (x ight )=-x^2$

  它不是严格的拟凸函数，因为如果我们取 $x_1=1$ 和 $x_2=-1$ 和 $lambda=0.5$，那么 $fleft (x_1 ight )=-1=fleft (x_2 ight )$ 但 $fleft (lambda x_1+left (1- lambda ight )x_2 ight )=0$ 因此它不满足定义中规定的条件。但它是一个拟凹函数，因为如果我们在域中取任意两个满足定义中约束的点 $fleft ( lambda x_1+left (1-lambda ight )x_2 ight )> min left { f left (x_1 ight ),fleft (x_2 ight ) ight }$。因为函数在负 x 轴上增加，在正 x 轴上减少。