极锥

设 S 为 $mathbb{R}^n$ 中的非空集，则 S 的极锥（记为 $S^*$）由 $S^*=left {p in mathbb{R}^n, p^Tx leq 0 : fforall x in S ight }$ 给出。

备注

• 即使 S 不是凸的，极锥也总是凸的。

• 如果 S 为空集，则 $S^*=mathbb{R}^n$。

• 极性可以看作是正交性的推广。

设 $Csubseteq mathbb{R}^n$然后是 C 的正交空间，表示为 $C^perp =left { y in mathbb{R}^n:left langle x,y ight angle=0 fforall x in C ight }$。

引理

设 $S,S_1$ 和 $S_2$ 为 $mathbb{R}^n$ 中的非空集，则以下陈述为真 −

• $S^*$ 是闭凸锥。

• $S subseteq S^{**}$ 其中 $S^{**}$ 是 $S^*$ 的极锥。

• $S_1 subseteq S_2 Rightarrow S_{2}^{*} subseteq S_{1}^{*}$。

证明

步骤 1 − $S^*=left { p in mathbb{R}^n,p^Txleq 0 : fforall :x in S ight }$

• 设 $x_1,x_2 in S^*Rightarrow x_{1}^{T}xleq 0 $ 且 $x_{2}^{T}x leq 0,fforall x in S$

  对于 $lambda in left ( 0, 1 ight ),left [ lambda x_1+left ( 1-lambda ight )x_2 ight ]^Tx=left [ left ( lambda x_1 ight )^T+ left {left ( 1-lambda ight )x_{2} ight }^{T} ight ]x, fforall x in S$

  $=left [ lambda x_{1}^{T} +left ( 1-lambda ight )x_{2}^{T} ight ]x=lambda x_{1}^{T}x+left ( 1-lambda ight )x_{2}^{T}leq 0$

  因此 $lambda x_1+left ( 1-lambda ight )x_{2} in S^*$

  因此 $S^*$ 是凸集。

• 对于 $lambda geq 0,p^{T}x leq 0, fforall :x in S$

  因此，$lambda p^T x leq 0,$

  $Rightarrow left ( lambda p ight )^T x leq 0$

  $Rightarrow lambda p in S^*$

  因此，$S^*$ 是一个锥体。

• 为了证明 $S^*$ 是封闭的，即证明如果 $p_n ightarrow p$ 为 $n ightarrow infty$，则 $p in S^*$

  $fforall x in S, p_{n}^{T}x-p^T x=left ( p_n-p ight )^T x$

  当 $p_n ightarrow p$ 为 $n ightarrow infty Rightarrow left ( p_n ightarrow p ight ) ightarrow 0$

  因此 $p_{n}^{T}x ightarrow p^{T}x$。但 $p_{n}^{T}x leq 0, : fforall x in S$

  因此，$p^Tx leq 0, fforall x in S$

  $Rightarrow p in S^*$

  因此，$S^*$ 已关闭。

步骤 2 − $S^{**}=left { q in mathbb{R}^n:q^T p leq 0, fforall p in S^* ight }$

设 $x in S$，则 $ fforall p in S^*，p^T x leq 0 Rightarrow x^Tp leq 0 Rightarrow x in S^{**}$

因此，$S subseteq S^{**}$

步骤 3 − $S_2^*=left { p in mathbb{R}^n:p^Txleq 0, fforall x in S_2 ight }$

由于 $S_1 subseteq S_2 Rightarrow fforall x in S_2 Rightarrow fforall x in S_1$

因此，如果 $hat{p} in S_2^*, $则 $hat{p}^Tx leq 0,fforall x in S_2$

$Rightarrow hat{p}^Txleq 0, fforall x in S_1$

$Rightarrow hat{p}^T in S_1^*$

$Rightarrow S_2^* subseteq S_1^*$

定理

设 C 为非空闭凸锥，则 $C=C^**$

证明

根据前面的引理，$C=C^{**}$。

证明：$x in C^{**} subseteq C$

设 $x in C^{**}$ 且设 $x otin C$

则根据基本分离定理，存在一个向量 $p eq 0$ 和一个标量 $alpha$ 使得 $p^Ty leq alpha, fforall y in C$

因此，$p^Tx > alpha$

但因为 $left ( y=0 ight ) in C$ 且 $p^Tyleq alpha, fforall y in C Rightarrow alphageq 0$ 且 $p^Tx>0$

若 $p otin C^*$，则存在某个 $\bar{y} in C$ 使得 $p^T \bar{y}>0$ 且 $p^Tleft ( lambda \bar{y} ight )$ 可以通过将 $lambda$ 取得足够大而任意变大。

这与 $p^Ty leq alpha, fforall y in C$ 的事实相矛盾

因此，$p in C^*$

由于 $x in C^*=left { q:q^Tpleq 0, fforall p in C^* ight }$

因此，$x^Tp leq 0 Rightarrow p^Tx leq 0$

但 $p^Tx> alpha$

因此矛盾。

因此，$x in C$

因此 $C=C^{**}$。